3.495 \(\int \frac{\coth ^5(e+f x)}{(a+b \sinh ^2(e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=167 \[ \frac{8 a^2-24 a b+15 b^2}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{7/2} f}-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}} \]

[Out]

-((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) + (8*a^2 - 24*a*b + 15
*b^2)/(8*a^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((8*a - 5*b)*Csch[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^
2]) - Csch[e + f*x]^4/(4*a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.201072, antiderivative size = 167, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {3194, 89, 78, 51, 63, 208} \[ \frac{8 a^2-24 a b+15 b^2}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{7/2} f}-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) + (8*a^2 - 24*a*b + 15
*b^2)/(8*a^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((8*a - 5*b)*Csch[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^
2]) - Csch[e + f*x]^4/(4*a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])

Rule 3194

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Dist[ff^((m + 1)/2)/(2*f), Subst[Int[(x^((m - 1)/2)*(a + b*ff*x)^p)/(1 - ff*x)^((
m + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 89

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((b*c - a*
d)^2*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), x] - Dist[1/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), In
t[(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d^2*f*(n + p + 2) + b^2*c*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - 2*a*b*d*(d*e*
(n + 1) + c*f*(p + 1)) - b^2*d*(d*e - c*f)*(n + 1)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (LtQ
[n, -1] || (EqQ[n + p + 3, 0] && NeQ[n, -1] && (SumSimplerQ[n, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1])))

Rule 78

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f
)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1)
+ c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ
[p, n]))))

Rule 51

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1
))/((b*c - a*d)*(m + 1)), x] - Dist[(d*(m + n + 2))/((b*c - a*d)*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth ^5(e+f x)}{\left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1+x)^2}{x^3 (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{2 f}\\ &=-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\frac{1}{2} (8 a-5 b)+2 a x}{x^2 (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 a f}\\ &=-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 a^2 f}\\ &=\frac{8 a^2-24 a b+15 b^2}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 a^3 f}\\ &=\frac{8 a^2-24 a b+15 b^2}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}\right )}{8 a^3 b f}\\ &=-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{8 a^{7/2} f}+\frac{8 a^2-24 a b+15 b^2}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{(8 a-5 b) \text{csch}^2(e+f x)}{8 a^2 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}-\frac{\text{csch}^4(e+f x)}{4 a f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.327152, size = 94, normalized size = 0.56 \[ \frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},1;\frac{1}{2};\frac{b \sinh ^2(e+f x)}{a}+1\right )+a \text{csch}^2(e+f x) \left (-2 a \text{csch}^2(e+f x)-8 a+5 b\right )}{8 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(a*Csch[e + f*x]^2*(-8*a + 5*b - 2*a*Csch[e + f*x]^2) + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*Hypergeometric2F1[-1/2, 1, 1
/2, 1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(8*a^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.09, size = 43, normalized size = 0.3 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({\frac{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}}{ \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{5}} \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x)

[Out]

`int/indef0`(cosh(f*x+e)^4/sinh(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (f x + e\right )^{5}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(f*x + e)^5/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.58169, size = 19003, normalized size = 113.79 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(((8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^12 + 12*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f
*x + e)^11 + (8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(
f*x + e)^10 + 2*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3 + 33*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*si
nh(f*x + e)^10 + 20*(11*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^
3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + (495*(8*a^2*
b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 128*a^3 + 504*a^2*b - 600*a*b^2 + 225*b^3 + 90*(16*a^3 - 72*a^2*b + 1
02*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(99*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 30
*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f
*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + 4*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(231*(8*a^2*b - 24*
a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 105*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 48*a^3 - 184*
a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3 - 7*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 +
8*(99*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 63*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e
)^5 - 7*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b
^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (495*(8*a^2
*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 420*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^6 - 70*(1
28*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 128*a^3 + 504*a^2*b - 600*a*b^2 + 225*b^3 + 60*(48
*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(55*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*
cosh(f*x + e)^9 + 60*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^7 - 14*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*
a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 20*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (128*a^3 - 5
04*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3 + 2*(16*a^3 - 72*
a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 45*(16*a^
3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^8 - 14*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x +
e)^6 + 30*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3
- 3*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*(8*a^2*b - 24*a*b^2 +
15*b^3)*cosh(f*x + e)^11 + 5*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^9 - 2*(128*a^3 - 504*a^2*b
+ 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 6*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - (128*a
^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)
)*sinh(f*x + e))*sqrt(a)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(4
*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 4*a - b)*sinh(f*x + e)^2 - 4*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt((b*cosh(f
*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))*
(cosh(f*x + e) + sinh(f*x + e)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (4*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x
+ e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*co
sh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 - cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) + 4*sqrt(2)*((8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*
b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + (8*a^3 - 24*a^2*b + 15*
a*b^2)*sinh(f*x + e)^9 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2 -
9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^7 + 28*(3*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*
x + e)^3 - (16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 2*(40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*co
sh(f*x + e)^5 + 2*(63*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2 - 42*(16*a^
3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(63*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^
5 - 70*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 5*(40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f
*x + e)^4 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(21*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x +
e)^6 - 35*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 16*a^3 + 29*a^2*b - 15*a*b^2 + 5*(40*a^3 - 92*a^2*b
+ 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^3 + 4*(9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7 - 21*(16*a^
3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - 3*(16*a^3 - 29*a
^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e) + (9*(8*a^3 - 24
*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^8 - 28*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 10*(40*a^3 - 92*a^2*b
+ 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2 - 12*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2
)*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sin
h(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(a^4*b*f*cosh(f*x + e)^12 + 12*a^4*b*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + a^4*b*
f*sinh(f*x + e)^12 + 2*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^5 - 3*a^4*b
)*f)*sinh(f*x + e)^10 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^8 + 20*(11*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^5 - 3*a^
4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (495*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^4 + 90*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2
- (16*a^5 - 15*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 8*(99*a^4*b*f*cosh(f*x + e)
^5 + 30*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + 4*(231*a^
4*b*f*cosh(f*x + e)^6 + 105*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 - 7*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (6
*a^5 - 5*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^6 + a^4*b*f - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(99*a^4*b*f*cosh(f*x
+ e)^7 + 63*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^5 - 7*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(6*a^5 - 5*a^4*b
)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (495*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^8 + 420*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^6 -
70*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 60*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f)*sin
h(f*x + e)^4 + 2*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 4*(55*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^9 + 60*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*
cosh(f*x + e)^7 - 14*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 20*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 - (16*a^5
- 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(33*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^10 + 45*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*
x + e)^8 - 14*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 30*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 - 3*(16*a^5 - 15*
a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^5 - 3*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^11 + 5*(2*a^5 - 3
*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^9 - 2*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 6*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^5 -
(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)), 1/8*(((8*a^2*b - 24
*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^12 + 12*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + (8*a^2*b
- 24*a*b^2 + 15*b^3)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 2*(16*a
^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3 + 33*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^10 + 20*(
11*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e))*sin
h(f*x + e)^9 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + (495*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3
)*cosh(f*x + e)^4 - 128*a^3 + 504*a^2*b - 600*a*b^2 + 225*b^3 + 90*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*co
sh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(99*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 30*(16*a^3 - 72*a^2*b +
102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e
)^7 + 4*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(231*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(
f*x + e)^6 + 105*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 7
5*b^3 - 7*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(99*(8*a^2*b - 24*a
*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 63*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - 7*(128*a^3 - 50
4*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e))*si
nh(f*x + e)^5 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (495*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^
3)*cosh(f*x + e)^8 + 420*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^6 - 70*(128*a^3 - 504*a^2*b +
600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 128*a^3 + 504*a^2*b - 600*a*b^2 + 225*b^3 + 60*(48*a^3 - 184*a^2*b + 21
0*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(55*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^9 + 60*
(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^7 - 14*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh
(f*x + e)^5 + 20*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2
- 225*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3 + 2*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 4
5*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 45*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*
b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^8 - 14*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 30*(48*a^3 -
184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3 - 3*(128*a^3 - 504*a^
2*b + 600*a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*(8*a^2*b - 24*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)
^11 + 5*(16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e)^9 - 2*(128*a^3 - 504*a^2*b + 600*a*b^2 - 225*b^
3)*cosh(f*x + e)^7 + 6*(48*a^3 - 184*a^2*b + 210*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - (128*a^3 - 504*a^2*b + 600*
a*b^2 - 225*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^3 - 72*a^2*b + 102*a*b^2 - 45*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt
(-a)*arctan(1/2*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*c
osh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*cosh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e))) + 2*sqrt(2)*((8*a^3 - 24*a
^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + (8*a^3 - 24
*a^2*b + 15*a*b^2)*sinh(f*x + e)^9 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b +
15*a*b^2 - 9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^7 + 28*(3*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*
b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 2*(40*a^3 - 92*a^2*b +
45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(63*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2
- 42*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(63*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*co
sh(f*x + e)^5 - 70*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 5*(40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x
+ e))*sinh(f*x + e)^4 - 4*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(21*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)
*cosh(f*x + e)^6 - 35*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 16*a^3 + 29*a^2*b - 15*a*b^2 + 5*(40*a^
3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^3 + 4*(9*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7
- 21*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(40*a^3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - 3*(1
6*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e) + (9
*(8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^8 - 28*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 10*(40*a^
3 - 92*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^3 - 24*a^2*b + 15*a*b^2 - 12*(16*a^3 - 29*a^2*b + 15*a*b^2)*cos
h(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(
f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(a^4*b*f*cosh(f*x + e)^12 + 12*a^4*b*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)
^11 + a^4*b*f*sinh(f*x + e)^12 + 2*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a
^5 - 3*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^10 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^8 + 20*(11*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^3 + (
2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (495*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^4 + 90*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh
(f*x + e)^2 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 8*(99*a^4*b*f*c
osh(f*x + e)^5 + 30*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7
+ 4*(231*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^6 + 105*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 - 7*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x
+ e)^2 + (6*a^5 - 5*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^6 + a^4*b*f - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(99*a^4*b
*f*cosh(f*x + e)^7 + 63*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^5 - 7*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(6*a
^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (495*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^8 + 420*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f
*x + e)^6 - 70*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 60*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 - (16*a^5 - 15*a
^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 4*(55*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^9 + 60*(2*a^5 -
3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^7 - 14*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 20*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^
3 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(33*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^10 + 45*(2*a^5 - 3*a^4*
b)*f*cosh(f*x + e)^8 - 14*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 30*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^4 - 3*(
16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^5 - 3*a^4*b)*f)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*a^4*b*f*cosh(f*x + e)^11 +
5*(2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^9 - 2*(16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 6*(6*a^5 - 5*a^4*b)*f*cosh(f
*x + e)^5 - (16*a^5 - 15*a^4*b)*f*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^5 - 3*a^4*b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)**5/(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (f x + e\right )^{5}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(coth(f*x + e)^5/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2), x)